Cálculo de áreas

Qué es la geometría?

Sobre qué figura geométrica realizó aporte Pitágoras? 

Qué método es apropiado para calcular el área de polígonos sin recurrir a la memorización de formulas?

Para que puedo aplicar el cálculo de áreas en mi vida cotidiana?

Yo tengo mis trucos para cortar las pizzas.

hace 23 horas, Soledad Boggio dijo:

Qué es la geometría?

Sobre qué figura geométrica realizó aporte Pitágoras? 

Qué método es apropiado para calcular el área de polígonos sin recurrir a la memorización de formulas?

Para que puedo aplicar el cálculo de áreas en mi vida cotidiana?

 

 

El rectángulo es el más fácil, altura por el ancho.

Un triángulo rectangular es altura por el ancho dividido entre 2

Todos los demás figuras se pueden descomponer en triangulos rectangulares cuyas supeerficies se suman a continuación,

Hala, sin memorizar fórmulas.

Ahora una pregunta señora 

¿Donde está el error aquí?

hace 1 hora, Zerg Rush dijo:

El rectángulo es el más fácil, altura por el ancho.

Un triángulo rectangular es altura por el ancho dividido entre 2

Todos los demás figuras se pueden descomponer en triangulos rectangulares cuyas supeerficies se suman a continuación,

Hala, sin memorizar fórmulas.

Ahora una pregunta señora 

¿Donde está el error aquí?

Tres amigos van a comer a un bar que tiene una oferta de tres platos combinados con bebida y postre por 25€ 

Llega la hora de pagar y cada amigo pone 10€. Le dan los 30€ euros al camarero y éste les devuelve 5 monedas de 1 €.

Deciden coger cada uno un euro y dejar los otros dos euros de propina. Tenemos así que cada uno puso 10€ y recuperó uno, es decir, que aportó 9€ que por tres son 27, y más los dos euros de la propina suman 29€ 

¿Pero no pusieron 30€? ¿Donde está el euro que falta?

Lo del círculo es correcto, pero el chaval se explica como un libro cerrado, la explicación es mucho más sencillo y sólo requiere una simple reflexión.

Por mucho que acercas los recortes de las esquinas al perímetro del círculo, aunque sea hasta el infinito, siempre quedarán triangulos de los recortes sobre el perímetro, lo que naturalmente alarga el perímetro mucho más allá de Pi. Es el principio de los fractales, con la pregunta sobre la longitud de una costa, allí también pueden salir resultados de unos km hasta una longitud infinita, dependiendo de la escala con que medimos., con una cinta métricade cien metros a cien metros, o a nivel microscópica, sumando la longitud de los bordes de cada grano de arena de la costa.

Con el círculo pasa algo parecido, sólo si superponemos un cuadrado con la misma circunferencia de círculo y efectuamos los recortes de las esquinas hasta el infinito, sólo entonces la rugosidad que queda cubre la linea del perímetro del círculo, con que la longitud queda igual (1), si lo ponemos como en la imagen troll, esta rugosidad queda siempre por encima del perímetro (2) y naturalmente tiene una longitud mayor.

1y 2 en este croquis, que lo deja bastante claro

http://sketchtoy.com/69313244

hace 34 minutos, Zerg Rush dijo:

Lo del círculo es correcto, pero el chaval se explica como un libro cerrado, la explicación es mucho más sencillo y sólo requiere una simple reflexión.

Por mucho que acercas los recortes de las esquinas al perímetro del círculo, aunque sea hasta el infinito, siempre quedarán triangulos de los recortes sobre el perímetro, lo que naturalmente alarga el perímetro mucho más allá de Pi. Es el principio de los fractales, con la pregunta sobre la longitud de una costa, allí también pueden salir resultados de unos km hasta una longitud infinita, dependiendo de la escala con que medimos., con una cinta métricade cien metros a cien metros, o a nivel microscópica, sumando la longitud de los bordes de cada grano de arena de la costa.

Con el círculo pasa algo parecido, sólo si superponemos un cuadrado con la misma circunferencia de círculo y efectuamos los recortes de las esquinas hasta el infinito, sólo entonces la rugosidad que queda cubre la linea del perímetro del círculo, con que la longitud queda igual (1), si lo ponemos como en la imagen troll, esta rugosidad queda siempre por encima del perímetro (2) y naturalmente tiene una longitud mayor.

1y 2 en este croquis, que lo deja bastante claro

http://sketchtoy.com/69313244

Es como ese pequeño enigma de la silla, la pared y el mondadientes. Colocas la silla a una distancia X de la pared y pones el palillo en la mitad de esa distancia (X/2). Desplazas la silla donde está el palillo y pones éste enmedio (X/4) y así sucesivamente.

¿Cuando llegará la silla a la pared?

Matemáticamente nunca, físicamente en pocos pasos ya no vas a poder arrimar la silla más

hace 7 horas, Zerg Rush dijo:

Matemáticamente nunca, físicamente en pocos pasos ya no vas a poder arrimar la silla más

Sin embargo, en la fábula de Aquiles y la tortuga la alcanza y la adelanta. Y eso que el razonamiento es parecido al de la silla y el mondadientes. La explicación matemática es sencilla (serie numérica decreciente cuyo sumatorio es finito) pero desde el punto de vista lógico no está tan claro.

Paradoja de Bertrand:

Consideremos una circunferencia y una cuerda (un segmento cuyos extremos están situados dentro de ella) trazada al azar.

¿Cuál es la probabilidad de que esta cuerda sea más larga que el lado de un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia?

Es decir, partimos de una circunferencia con su único posible triángulo equilátero inscrito (las posibilidades de inscribir triángulos dentro de una circunferencia son infinitos, pero que sea equilátero solo hay una)

Trazamos ahora una cuerda aleatoriamente dentro de esa circunferencia. ¿Que probabilidad hay de que su longitud sea mayor que el lado de ese triángulo equilátero inscrito?

Tres soluciones: 1/3, 1/2 y 1/4 y las tres son aparentemente correctas.

Primera solución: 1/3

Segunda solución: 1/2

Tercera solución: 1/4

Una sencillita

Tienes una cuerda con la longitud suficiente para poder rodear justo el ecuador de la Tierra (~40.000km). Ahora añade un metro a esta cuerda para poder distanciarla de la superficie en toda la circunferencia.

¿Queda entonces espacio para poder deslizar debajo de la cuerda

a) un papel?

b) la mano?

c) una naranja?

hace 40 minutos, Zerg Rush dijo:

Una sencillita

Tienes una cuerda con la longitud suficiente para poder rodear justo el ecuador de la Tierra (~40.000km). Ahora añade un metro a esta cuerda para poder distanciarla de la superficie en toda la circunferencia.

¿Queda entonces espacio para poder deslizar debajo de la cuerda

a) un papel?

b) la mano?

c) una naranja?

40.000.000 = 2*π*r(1)

40.000.001 = 2*π*r(2)

r(2) - r(1) sería la solución

¿No?

r(2) = 40.000.001/2π

r(1) = 40.000.000/2π

r(2) - r(1) = 1/2π m. ~ 16 cms.

De hecho, el perímetro de la circunferencia (P) mantiene siempre la misma proporción con el radio (r)

P = 2πr // r= P/2π

Por tanto ∆r = ∆P/2π

Estás en un punto de la Tierra en el que si caminas un kilometro hacia el Sur, otro kilómetro hacia el Este y otro kilómetro hacia el Norte vuelves al punto de partida.

¿Donde estás?

Ojo que hay dos posibles soluciones.

La solución depende de si hay osos blancos o no

hace 20 minutos, Zerg Rush dijo:

La solución depende de si hay osos blancos o no

Ya sé por dónde vas, pero las soluciones son puramente geométricas.

Me corrigo, sólo puede tratarse del polo norte, si la condición es de ir primero al sur, esto en el polo sur carece de sentido.

hace 37 minutos, Zerg Rush dijo:

Me corrigo, sólo puede tratarse del polo norte, si la condición es de ir primero al sur, esto en el polo sur carece de sentido.

Esa es una de las posibilidades. Pero hay otra. A ver si se te ocurre. 

Bueno, alejándote del polo sur 1 km  se pueden dar estas condiciones

hace 32 minutos, Zerg Rush dijo:

Bueno, alejándote del polo sur 1 km  se pueden dar estas condiciones

Esa es la idea, pero con un matiz. Tienes que alejarte del polo sur hasta que dando la vuelta alrededor de éste, al recorrer un kilómetro vuelvas al mismo sitio.

Si caminas hacia el norte 1 km desde cualquier punto de esa circunferencia, en el punto al que llegas sucede lo siguiente:

- Si caminas 1 Km hacía el Sur estarás sobre esa circunferencia imaginaría.

 - Si caminas 1km  desde ese punto (X) hacía el Este regresaras al mismo punto (X). Le habrás dado la vuelta al mundo en un kilometro. 

- Y si finalmente caminas hacia el Norte 1 km volverás al punto de partida inicial.

Uno más de lógica

Tienes 2 vasos de igual contenido, uno lleno de vino blanco y el otro con vino tinto.

Sacas una cantidad del vaso con vino blanco y lo echas al vaso con vino tinto (que me perdonen los amantes del vino). A continuacion sacas una identica cantidad de esta mezcla y lo echas al vaso del vino blanco.

Ahora 

¿hay más vino tinto en el vino blanco, más blanco en el tinto, o es igual la proporción en ambos vasos?

hace 2 horas, Zerg Rush dijo:

Uno más de lógica

Tienes 2 vasos de igual contenido, uno lleno de vino blanco y el otro con vino tinto.

Sacas una cantidad del vaso con vino blanco y lo echas al vaso con vino tinto (que me perdonen los amantes del vino). A continuacion sacas una identica cantidad de esta mezcla y lo echas al vaso del vino blanco.

Ahora 

¿hay más vino tinto en el vino blanco, más blanco en el tinto, o es igual la proporción en ambos vasos?

 

En el vaso de tinto queda la mezcla de tinto y blanco.

En el vaso de blanco queda el blanco más la mezcla de tinto y blanco.

Diría que hay más blanco en el blanco y más tinto en el tinto.

Nop, intenta de nuevo (esta pregunta tuve en un examen sobre mezclas ya hace muchísimos años).

Un tip, haz el experimento con monedas de 1 y 2 céntimos, en vez de vino, así puedes comprobar las cantidades después.

hace 1 hora, Zerg Rush dijo:

Nop, intenta de nuevo (esta pregunta tuve en un examen sobre mezclas ya hace muchísimos años).

Un tip, haz el experimento con monedas de 1 y 2 céntimos, en vez de vino, así puedes comprobar las cantidades después.

Si ambos tienen el mismo volumen, hay la misma cantidad de vino blanco que de tinto. Por tanto la cantidad de vino que no esté en un vaso tiene que estar en el otro forzosamente y viceversa 

Es decir, si vierto un % de blanco en el tinto y después ese mismo % de la mezcla otra vez en el blanco, en el de tinto quedará forzosamente una cantidad de blanco igual a la de tinto que estoy echando en el primer vaso (el de vino blanco)

Pero eso no garantiza que las mezclas sean iguales  Solo que el grado de "contaminación" de cada vaso es el mismo. Pero puede haber por ejemplo un 5% de tinto en el de blanco y otro 5% de blanco en el de tinto.

Si vertemos todo el vaso de blanco en el de tinto está claro que queda 50/50. Pero ¿Y en el resto de los casos?

Pues sigo pensando lo mismo. Creo que habrá más blanco que tinto en el primer vaso y más tinto que blanco en el segundo porque solo se igualan si se vierte el vaso entero.

No, es indiferente la cantidad que intercambias, siempre hay la misma cantidad de blanco en el tinto que viceversa, siempre si la cantidad que intercambias es identica, digamos 50ml de un vaso de 250ml.

Para entenderlo bien te dije antes de hacer este experimento con las monedas de uno y dos céntimos, seguro, como todos tengas una buena colección de la chatarra que tengas de los monederos que usas para jugar a las cartas con los amigos. Si no, puedes usar también garbanzos y alubisa u otra cosa. Pon digamos en un lado 30 garbanzos y en el otro lado 30 alubias. Ahora toma, digamos 10 garbanzos y pon los con las alubias, mezclalo y después tomas 10 piezas de esto a ciegas y metelos con los garbanzos y te vas a dar cuenta que siempre, hagas lo que hagas, va a haber en ambos lados la misma cantidad de piezas del otro lado-

Pruebelo y reflexionando sobre ello es bastante lógico, aunque de entrada no lo parece. Es igual de engañosa que lo de la tierra y la cuerda donde siempre resultan algo menos que 16 cm como resultado, independiente de la circunferencia.

La lógica a veces engaña.

En este sentido hay otro que puedes probar con un palo de escoba,

Estira los brazos y pon el palo encima de tus dedos indices estirados, de forma que en el lado derecho el dedo se encuentra a digamos 15 cm del final derecho del palo y en el lado izquierdo el dedo a 25 cm le final izquierdo del palo.

Ahora junta con cuidado  lentamente ambos manos hasta que los dedos se tocan ¿se va a caer el palo?

Pues no, los dedos siempre se encuentran al final en el centro del palo con lo que queda en equilibrio.

hace 6 horas, Zerg Rush dijo:

No, es indiferente la cantidad que intercambias, siempre hay la misma cantidad de blanco en el tinto que viceversa, siempre si la cantidad que intercambias es identica, digamos 50ml de un vaso de 250ml.

Para entenderlo bien te dije antes de hacer este experimento con las monedas de uno y dos céntimos, seguro, como todos tengas una buena colección de la chatarra que tengas de los monederos que usas para jugar a las cartas con los amigos. Si no, puedes usar también garbanzos y alubisa u otra cosa. Pon digamos en un lado 30 garbanzos y en el otro lado 30 alubias. Ahora toma, digamos 10 garbanzos y pon los con las alubias, mezclalo y después tomas 10 piezas de esto a ciegas y metelos con los garbanzos y te vas a dar cuenta que siempre, hagas lo que hagas, va a haber en ambos lados la misma cantidad de piezas del otro lado-

Pruebelo y reflexionando sobre ello es bastante lógico, aunque de entrada no lo parece. Es igual de engañosa que lo de la tierra y la cuerda donde siempre resultan algo menos que 16 cm como resultado, independiente de la circunferencia.

La lógica a veces engaña.

En este sentido hay otro que puedes probar con un palo de escoba,

Estira los brazos y pon el palo encima de tus dedos indices estirados, de forma que en el lado derecho el dedo se encuentra a digamos 15 cm del final derecho del palo y en el lado izquierdo el dedo a 25 cm le final izquierdo del palo.

Ahora junta con cuidado  lentamente ambos manos hasta que los dedos se tocan ¿se va a caer el palo?

Pues no, los dedos siempre se encuentran al final en el centro del palo con lo que queda en equilibrio.

Veamos un ejemplo numérico.

Quito el 10% del blanco. Queda el 90%

Lo vuelco en el tinto. Queda el 100% de tinto más un 10% de blanco.

Tomamos un 10% de la mezcla. De ese 10% el 9% es tlnto y el 1% blanco.

Es decir, que el vaso de blanco ha recuperado el 9% del 10% que perdió más un 1% de tinto.

Hay un 99% de blanco y un 1% de tinto

Por consiguiente, en el otro vaso hay un 99% de tinto y un 1% de blanco.